United lå under med to mål i det 87. minutt hjemme på Old Trafford, men Paul Pogbas straffespark skapte nytt håp, og svenske Victor Lindelöf sikret ett poeng med sitt utligningsminutt i tredje tilleggsminutt.
Ashley Barnes ga Burnley ledelsen tidlig i 2. omgang etter en stygg feil av Andreas Pereira, den største av flere overraskelser i Solskjærs lagoppstilling. United presset veldig etter at nordmøringen kastet inn Jesse Lingard og Alexis Sanchez, men fikk ikke ballen i mål.
I stedet kontret Burnley inn 2-0 ved Chris Wood snaut ti minutter før full tid. Paul Pogba reduserte på straffespark i det 87. minutt etter at Lingard ble felt, men det så bare ut til å bli et trøstemål inntil Lindelöf scoret med assist fra Sanchez i det 93. minutt.
Solskjær greide ikke å slå rekorden han deler med Carlo Ancelotti og Pep Guardiola. De tre er alene om å ha vunnet sine seks første Premier League-kamper som manager i en klubb, men ett poeng tirsdag føltes likevel litt som en seier.
Manchester United kunne fått en kjempestart da Marcus Rashford kom alene gjennom i det 9. minutt etter fint samspill med Romelu Lukaku på en rask kontring. Han avsluttet med utsiden, men traff feil og sendte ballen langt utenfor stolpen.
Resten av den første omgangen slet United med å komme til gode sjanser mot et godt organisert Burnley-lag. Det var tendenser til utålmodig murring fra tribunene mot slutten av omgangen, og mange savnet Lingard som satt på benken.
Første gang
Fem minutter ut i 2. omgang tok Burnley ledelsen etter svakt spill av Andreas Pereira, som startet i serien for første gang på 163 dager. Han virket rusten før pause og mistet i det 51. minutt ballen til Jack Cork, som spilte fram målscorer Ashley Barnes.
Dermed lå Manchester United under for første gang med Solskjær som manager, i hans første kveldskamp på Old Trafford.
Ingen ble overrasket over nordmannens reaksjon, som var å ta av Pereira og erstatte ham med Lingard, men han ga brasilianeren en trøstende klapp på vei ut.
I det 66. minutt berget Burnley-keeper Tom Heaton sitt lag med en flott redning da Lukaku skjøt fra kort hold. Rett etterpå kom Alexis Sanchez inn for Lukaku, og United la gjestemålet under voldsomt press. United hadde 80 prosent ballbesittelse etter scoringen og fortjente poenget uansett om det satt langt inne.
Endringer
Solskjær gjorde fem endringer i laget som slo Arsenal 3-1 i FA-cupen sist fredag og satte blant annet Jesse Lingard på benken. Han brøt også opp midtbanetrioen som har fungert meget bra i de fem siste Premier League-kampene og ga Andreas Pereira sjansen fra start på bekostning av Ander Herrera.
Lukaku spilte midtspiss tirsdag, mens Rashford ble skjøvet ut på kanten etter å ha spilt i midten i de fleste kampene siden Solskjær tok over. Solskjær sa ellers til MUTV at Anthony Martial ikke var kampklar etter å ha pådratt seg en liten skade på trening.
United-laget spilte med sørgebind tirsdag på grunn av at det neste uke er 61 år siden München-flyulykken som utslettet et av klubbens første storlag. Før avspark var det også ett minutts stillhet for Emiliano Sala, som er savnet og fryktes omkommet i en småflyulykke da han skulle slutte seg til sin nye klubb Cardiff.
